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Mathematik Nachhilfe

Privater Mathematik Nachhilfeunterricht

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Ohne Zweifel hat sich Mathematik– Privatnachhilfe im Einzelunterricht Zuhause als viel effizienter erwiesen als Gruppenunterricht. Unsere Nachhilfelehrer setzen sich aus Lehrern, Studenten und Absolventen der Mathematik zusammen.

Definition laut Wikipedia

Die Mathematik (bundesdeutsches Hochdeutsch: [matemaˈtiːk], [matemaˈtik]; österreichisches Hochdeutsch: [mateˈmaːtik]; altgriechisch μαθηματική τέχνη mathēmatikē téchnē ‚die Kunst des Lernens‘) ist eine Wissenschaft, welche aus der Untersuchung von geometrischen Figuren und dem Rechnen mit Zahlen entstand. Für Mathematik gibt es keine allgemein anerkannte Definition; heute wird sie üblicherweise als eine Wissenschaft beschrieben, die durch logische Definitionen selbstgeschaffene abstrakte Strukturen mittels der Logik auf ihre Eigenschaften und Muster untersucht.

Geschichte

Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften. Ihre erste Blüte erlebte sie noch vor der Antike in Mesopotamien, Indien und China, später in der Antike in Griechenland und im Hellenismus. Von dort datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des „rein logischen Beweisens“ und die erste Axiomatisierung, nämlich die euklidische Geometrie. Im Mittelalter überlebte sie unabhängig voneinander im frühen Humanismus der Universitäten und in der arabischen Welt.

In der frühen Neuzeit führte François Viète Variablen ein, René Descartes eröffnete durch die Verwendung von Koordinaten einen rechnerischen Zugang zur Geometrie. Die Betrachtung von Änderungsraten (Fluxionen) sowie die Beschreibung von Tangenten und die Bestimmung von Flächeninhalten („Quadratur“) führten zur Infinitesimalrechnung von Gottfried Wilhelm Leibniz und Isaac Newton. Newtons Mechanik und sein Gravitationsgesetz waren auch in den folgenden Jahrhunderten eine Quelle richtungweisender mathematischer Probleme wie des Dreikörperproblems.

Ein anderes Leitproblem der frühen Neuzeit war das Lösen zunehmend komplizierter werdender algebraischer Gleichungen. Zu dessen Behandlung entwickelten Niels Henrik Abel und Évariste Galois den Begriff der Gruppe, der Beziehungen zwischen Symmetrien eines Objektes beschreibt. Als weitere Vertiefung dieser Untersuchungen können die neuere Algebra und insbesondere die algebraische Geometrie angesehen werden.

Eine damals neue Idee im Briefwechsel zwischen Blaise Pascal und Pierre de Fermat im Jahr 1654 führte zur Lösung eines alten Problems, für das es schon andere, allerdings umstrittene Lösungsvorschläge gab. Der Briefwechsel wird als Geburt der klassischen Wahrscheinlichkeitsrechnung angesehen. Die neuen Ideen und Verfahren eroberten viele Bereiche. Aber über Jahrhunderte hinweg kam es zur Aufspaltung der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie in separate Schulen. Versuche, den Begriff „Wahrscheinlichkeit“ explizit zu definieren, gelangen nur für Spezialfälle. Erst das Erscheinen von Andrei Kolmogorows Lehrbuch Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung im Jahr 1933 schloss die Entwicklung der Fundamente moderner Wahrscheinlichkeitstheorie ab, siehe dazu auch Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Im Laufe des 19. Jahrhunderts fand die Infinitesimalrechnung durch die Arbeiten von Augustin-Louis Cauchy und Karl Weierstraß ihre heutige strenge Form. Die von Georg Cantor gegen Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte Mengenlehre ist aus der heutigen Mathematik ebenfalls nicht mehr wegzudenken, auch wenn sie durch die Paradoxien des naiven Mengenbegriffs zunächst deutlich machte, auf welch unsicherem Fundament die Mathematik vorher stand.

Die Entwicklung der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts stand unter dem Einfluss von David Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen. Eines der Probleme war der Versuch einer vollständigen Axiomatisierung der Mathematik; gleichzeitig gab es starke Bemühungen zur Abstraktion, also des Versuches, Objekte auf ihre wesentlichen Eigenschaften zu reduzieren. So entwickelte Emmy Noether die Grundlagen der modernen Algebra, Felix Hausdorff die allgemeine Topologie als die Untersuchung topologischer Räume, Stefan Banach den wohl wichtigsten Begriff der Funktionalanalysis, den nach ihm benannten Banachraum. Eine noch höhere Abstraktionsebene, einen gemeinsamen Rahmen für die Betrachtung ähnlicher Konstruktionen aus verschiedenen Bereichen der Mathematik, schuf schließlich die Einführung der Kategorientheorie durch Samuel Eilenberg und Saunders Mac Lane.

Inhalte und Teilgebiete

Die folgende Aufzählung gibt einen ersten chronologischen Überblick über die Breite mathematischer Themen:

  • das Rechnen mit Zahlen (Arithmetik – Altertum),
  • die Untersuchung von Figuren (Geometrie – Altertum, Euklid),
  • das Auflösen von Gleichungen (Algebra – Altertum, Mittelalter und Renaissance, Tartaglia),
  • die Untersuchung der korrekten Schlussfolgerungen (Logik – Aristoteles) (teilweise nur zur Philosophie, oft aber auch zur Mathematik gezählt)
  • Untersuchungen zur Teilbarkeit (Zahlentheorie – Euklid, Diophant, Fermat, Euler, Gauß, Riemann),
  • das rechnerische Erfassen räumlicher Beziehungen (Analytische Geometrie – Descartes, 17. Jahrhundert),
  • das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (Wahrscheinlichkeitstheorie – Pascal, Jakob Bernoulli, Laplace, 17.–19. Jahrhundert),
  • die Untersuchung von Funktionen, insbesondere deren Wachstum, Krümmung, des Verhaltens im Unendlichen und der Flächeninhalte unter den Kurven (Analysis – Newton, Leibniz, Ende des 17. Jahrhunderts),
  • die Beschreibung physikalischer Felder (Differentialgleichungen, partielle Differentialgleichungen, Vektoranalysis – Euler, die Bernoullis, Laplace, Gauß, Poisson, Fourier, Green, Stokes, Hilbert, 18.–19. Jahrhundert),
  • die Perfektionierung der Analysis durch die Einbeziehung komplexer Zahlen (Funktionentheorie – Gauß, Cauchy, Weierstraß, 19. Jahrhundert),
  • die Geometrie gekrümmter Flächen und Räume (Differentialgeometrie – Gauß, Riemann, Levi-Civita, 19. Jahrhundert),
  • das systematische Studium von Symmetrien (Gruppentheorie – Galois, Abel, Klein, Lie, 19. Jahrhundert),
  • die Aufklärung von Paradoxien des Unendlichen (Mengenlehre und mathematische Logik – Cantor, Frege, Russell, Zermelo, Fraenkel, Anfang des 20. Jahrhunderts),
  • die stetige Verformung geometrischer Körper (Topologie – Cantor, Poincaré, Fréchet, Hausdorff, Kuratowski, Anfang des 20. Jahrhunderts),
  • die Untersuchung von Strukturen und Theorien (Universelle Algebra, Kategorientheorie),
  • die Erhebung und Auswertung von Daten (Mathematische Statistik).
  • diskrete endliche oder abzählbar unendliche Strukturen (Diskrete Mathematik, Kombinatorik, Graphentheorie – Euler, Cayley, Kőnig, Tutte) mit engen Beziehungen zur Informatik.

Etwas abseits steht in dieser Aufzählung die Numerische Mathematik, die für konkrete kontinuierliche Probleme aus vielen der oben genannten Bereiche Algorithmen zur Lösung bereitstellt und diese untersucht.

Unterschieden werden ferner die reine Mathematik, auch als theoretische Mathematik bezeichnet, die sich nicht mit außermathematischen Anwendungen befasst, und die angewandte Mathematik wie zum Beispiel Versicherungsmathematik und Kryptologie. Die Übergänge der eben genannten Gebiete sind fließend. ( Quelle: Wikipedia, https://de.wikipedia.org/wiki/Mathematik )

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Die deutsche Sprache bzw. Deutsch (abgekürzt dt. oder dtsch.) ist eine plurizentrische westgermanische Sprache, die weltweit etwa 90 bis 105 Millionen Menschen als Muttersprache und weiteren rund 80 Millionen als Zweit- oder Fremdsprache dient.

Ihr Sprachgebiet umfasst Deutschland, Österreich, die Deutschschweiz, Liechtenstein, Luxemburg, Ostbelgien, Südtirol, das Elsass und Lothringen sowie Nordschleswig. Außerdem ist Deutsch eine Minderheitensprache in einigen europäischen und außereuropäischen Ländern, z. B. in Rumänien und Südafrika sowie Nationalsprache im afrikanischen Namibia. Deutsch ist die meistgesprochene Muttersprache in der Europäischen Union (EU). 

Die Standardsprache, das Standarddeutsche, setzt sich aus Standardvarietäten der deutschen Dachsprache zusammen und ist das Ergebnis bewusster sprachplanerischer Eingriffe. Ursprünglich bestand der deutsche Sprachraum allein aus einer Vielzahl von hochdeutschen und niederdeutschen Mundarten innerhalb eines Dialektkontinuums.

Die Germanistik erforscht, dokumentiert und vermittelt die deutsche Sprache und Literatur in ihren historischen und gegenwärtigen Formen. Die deutsche Gegenwartssprache umfasst einer neueren Untersuchung nach mehr als fünf Millionen Wörter, fast ein Drittel mehr als noch vor 100 Jahren.

Definition

Unter dem Begriff „deutsche Sprache“ wird heute primär die auf der Grundlage von mitteldeutschen und oberdeutschen Dialekten entstandene hochdeutsche Standardsprache (Standardhochdeutsch) verstanden. Die Dialekte (Mundarten) des Dialektkontinuums werden dagegen nur teilweise von dieser Sprache überdacht.

Zum Deutschen werden darüber hinaus die historischen Vorgängersprachen Althochdeutsch (Sprachcodes nach ISO 639-2 & 639-3: goh) und Mittelhochdeutsch (Sprachcodes nach ISO 639-2 & 639-3: gmh) gezählt sowie neuere umgangssprachliche Varietäten oder Mischsprachen (z. B. Missingsch) innerhalb des Geltungsbereiches der deutschen Standardsprache.

Das Luxemburgische sowie manche Auswandererdialekte (z. B. Pennsylvania Dutch) oder Übergangsdialekte (z. B. Kollumerpompsters) gehen zurück auf Varietäten des Dialektkontinuums.

Das Jiddische, das auf das Mittelhochdeutsche zurückgeht, hat sich vor allem unter slawischen und hebräischen Einflüssen eigenständig und mit einer eigenen Schriftsprache weiterentwickelt; Ähnliches gilt für die lexikalisch auf dem Deutschen basierende Kreolsprache Unserdeutsch.  

Das Wort „deutsch“

→ Hauptartikel: Deutsch (Etymologie)

Das Wort oder Glottonym (der Name einer Sprache[28]) deutsch hat sich aus dem germanischen *þeuðō ‚Volk‘, ahd. thiota, thiot und dem daraus abgeleiteten Adjektiv ahd. thiutisk (um 1000), mhd. diutisch, diutsch, tiutsch, tiusch entwickelt. Es bedeutet so viel wie ‚zum Volk gehörig‘ und entwickelte sich zu einer Bezeichnung für die Sprache der germanischen Stämme Mitteleuropas, die im Gegensatz zur Sprache der angrenzenden romanischen Bevölkerung und zum Latein stand.[29]

Eine parallele Bildung ist schon im gotischen Adverb þiudiskō belegt, mit dem der griechische Ausdruck ethnikṓs (ἐθνικῶς) ‚heidnisch‘ übersetzt wurde. Später wurde auch das altenglische þēodisc in gleicher Weise für lat. gentīlis ‚heidnisch‘ verwendet.[29] In seiner lateinischen Form theodisce findet man das Wort erstmals in einem Synodenbericht des päpstlichen Nuntius Gregor von Ostia aus dem Jahre 786:

„[…] et in conspectu concilii clara voce singula capitula perlecta sunt et tam latine quam theodisce […]“

„[…] und im Konziliarsplenum werden mit lauter Stimme die einzelnen Kapitel gelesen, sowohl auf Lateinisch als auch in der Sprache des Volkes […]“

Aus dem Zusammenhang geht hervor, dass hier die altenglische Sprache im Gegensatz zu dem vom Klerus verwendeten Latein gemeint war.[29] Nur zwei Jahre jünger ist der erste Beleg aus dem kontinental-germanischen Sprachgebiet, als in einer Anklage gegen den baierischen Herzog Tassilo III. auf dem Reichstag zu Ingelheim eine germanische Übersetzung für dessen angebliche[30] „Fahnenflucht“ genannt wurde: „quod theodisca lingua harisliz dicitur“.[31]

Seit Karl dem Großen wurde der Ausdruck theodisca lingua zur amtlichen Bezeichnung für die altfränkische Volkssprache und zunehmend auch für die Gesamtheit der in seinem Reich gesprochenen germanischen Dialekte. Die ältere Bezeichnung „fränkisch“ für die eigene Sprache traf etwa seit dem 9. Jahrhundert nicht mehr eindeutig zu, da einerseits die westfränkische Oberschicht im späteren Frankreich den romanischen Dialekt der einheimischen Bevölkerung übernommen hatte, andererseits das Ostfrankenreich auch nicht-fränkische Stämme wie die Alemannen, die Baiern, die Thüringer und die Sachsen umfasste. So heißt es auch bei dem karolingischen Geschichtsschreiber Notker, der in der 2. Hälfte des 9. Jahrhunderts lebte:

„[…] qui Theutonica sive Teutisca lingua loquimur […]“

„[…] die wir Teutonisch oder Deutsch reden […]“

– Notker: Gesta Karoli 1, 10, 24–25

Seit dieser Zeit begann zudem die althochdeutsche Form diutisc das mittellateinische theodiscus zu verdrängen. So erscheint neben theodiscus seit etwa 880 auch mittellateinisch diutiscus, tiutiscus. Das Althochdeutsche, auf das sich der Wortgebrauch seit dem 9. Jahrhundert verengte, bestand aus verschiedenen Mundarten. Erst um die Mitte des 12. Jahrhunderts entwickelte sich im mittelrheinischen Gebiet eine einheitlichere mittelhochdeutsche Dichter- und Literatursprache, die uns in der klassisch höfischen Ritterliteratur begegnet, in der sich auch Reflexe der französischsprachigen Ritterepik finden. Begründet und getragen wurde diese Dichtung und die mit ihr verbundene überregionale Dichtersprache vor allem vom aufstrebenden Adel, der sich damit zugleich vom Volk abhob, das natürlich weiterhin an seinen regionalen Dialekte festhielt.

Das Gebiet, in dem diese sprachlichen Varietäten, die ein zusammenhängendes Dialektkontinuum bildeten und in den damals gesprochenen Sprachstufen des Kontinentalgermanischen einheitlich als „deutsch“ bezeichnet wurden, gesprochen wurden, wurde anfangs im Plural als diutschiu lant bezeichnet. Doch verwendet schon der Verfasser des Annoliedes (um 1085) aus dem Kloster Siegburg diutisc auch im Singular und stellt einen Zusammenhang von Sprache, Volk und Land her:

„Diutschin sprechin, Diutschin liute in Diutischemi lande.“

„Deutsch sprechen, deutsche Leute in deutschem Lande.“

Die Zusammenschreibung der Landesbezeichnung (zunächst im Sinne von „deutscher Sprachraum“) begegnet erstmals im spätmittelhochdeutschen Tiutschland und setzte sich seit dem 16. Jahrhundert allgemein durch.

( Quelle: Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Deutsche_Sp

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Die Standardsprache, das Standarddeutsche, setzt sich aus Standardvarietäten der deutschen Dachsprache zusammen und ist das Ergebnis bewusster sprachplanerischer Eingriffe. Ursprünglich bestand der deutsche Sprachraum allein aus einer Vielzahl von hochdeutschen und niederdeutschen Mundarten innerhalb eines Dialektkontinuums.

Die Germanistik erforscht, dokumentiert und vermittelt die deutsche Sprache und Literatur in ihren historischen und gegenwärtigen Formen. Die deutsche Gegenwartssprache umfasst einer neueren Untersuchung nach mehr als fünf Millionen Wörter, fast ein Drittel mehr als noch vor 100 Jahren.

Definition

Unter dem Begriff „deutsche Sprache“ wird heute primär die auf der Grundlage von mitteldeutschen und oberdeutschen Dialekten entstandene hochdeutsche Standardsprache (Standardhochdeutsch) verstanden. Die Dialekte (Mundarten) des Dialektkontinuums werden dagegen nur teilweise von dieser Sprache überdacht.

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Das Wort „deutsch“

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Das Wort oder Glottonym (der Name einer Sprache[28]) deutsch hat sich aus dem germanischen *þeuðō ‚Volk‘, ahd. thiota, thiot und dem daraus abgeleiteten Adjektiv ahd. thiutisk (um 1000), mhd. diutisch, diutsch, tiutsch, tiusch entwickelt. Es bedeutet so viel wie ‚zum Volk gehörig‘ und entwickelte sich zu einer Bezeichnung für die Sprache der germanischen Stämme Mitteleuropas, die im Gegensatz zur Sprache der angrenzenden romanischen Bevölkerung und zum Latein stand.[29]

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Aus dem Zusammenhang geht hervor, dass hier die altenglische Sprache im Gegensatz zu dem vom Klerus verwendeten Latein gemeint war.[29] Nur zwei Jahre jünger ist der erste Beleg aus dem kontinental-germanischen Sprachgebiet, als in einer Anklage gegen den baierischen Herzog Tassilo III. auf dem Reichstag zu Ingelheim eine germanische Übersetzung für dessen angebliche[30] „Fahnenflucht“ genannt wurde: „quod theodisca lingua harisliz dicitur“.[31]

Seit Karl dem Großen wurde der Ausdruck theodisca lingua zur amtlichen Bezeichnung für die altfränkische Volkssprache und zunehmend auch für die Gesamtheit der in seinem Reich gesprochenen germanischen Dialekte. Die ältere Bezeichnung „fränkisch“ für die eigene Sprache traf etwa seit dem 9. Jahrhundert nicht mehr eindeutig zu, da einerseits die westfränkische Oberschicht im späteren Frankreich den romanischen Dialekt der einheimischen Bevölkerung übernommen hatte, andererseits das Ostfrankenreich auch nicht-fränkische Stämme wie die Alemannen, die Baiern, die Thüringer und die Sachsen umfasste. So heißt es auch bei dem karolingischen Geschichtsschreiber Notker, der in der 2. Hälfte des 9. Jahrhunderts lebte:

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Ihr Sprachgebiet umfasst Deutschland, Österreich, die Deutschschweiz, Liechtenstein, Luxemburg, Ostbelgien, Südtirol, das Elsass und Lothringen sowie Nordschleswig. Außerdem ist Deutsch eine Minderheitensprache in einigen europäischen und außereuropäischen Ländern, z. B. in Rumänien und Südafrika sowie Nationalsprache im afrikanischen Namibia. Deutsch ist die meistgesprochene Muttersprache in der Europäischen Union (EU). 

Die Standardsprache, das Standarddeutsche, setzt sich aus Standardvarietäten der deutschen Dachsprache zusammen und ist das Ergebnis bewusster sprachplanerischer Eingriffe. Ursprünglich bestand der deutsche Sprachraum allein aus einer Vielzahl von hochdeutschen und niederdeutschen Mundarten innerhalb eines Dialektkontinuums.

Die Germanistik erforscht, dokumentiert und vermittelt die deutsche Sprache und Literatur in ihren historischen und gegenwärtigen Formen. Die deutsche Gegenwartssprache umfasst einer neueren Untersuchung nach mehr als fünf Millionen Wörter, fast ein Drittel mehr als noch vor 100 Jahren.

Definition

Unter dem Begriff „deutsche Sprache“ wird heute primär die auf der Grundlage von mitteldeutschen und oberdeutschen Dialekten entstandene hochdeutsche Standardsprache (Standardhochdeutsch) verstanden. Die Dialekte (Mundarten) des Dialektkontinuums werden dagegen nur teilweise von dieser Sprache überdacht.

Zum Deutschen werden darüber hinaus die historischen Vorgängersprachen Althochdeutsch (Sprachcodes nach ISO 639-2 & 639-3: goh) und Mittelhochdeutsch (Sprachcodes nach ISO 639-2 & 639-3: gmh) gezählt sowie neuere umgangssprachliche Varietäten oder Mischsprachen (z. B. Missingsch) innerhalb des Geltungsbereiches der deutschen Standardsprache.

Das Luxemburgische sowie manche Auswandererdialekte (z. B. Pennsylvania Dutch) oder Übergangsdialekte (z. B. Kollumerpompsters) gehen zurück auf Varietäten des Dialektkontinuums.

Das Jiddische, das auf das Mittelhochdeutsche zurückgeht, hat sich vor allem unter slawischen und hebräischen Einflüssen eigenständig und mit einer eigenen Schriftsprache weiterentwickelt; Ähnliches gilt für die lexikalisch auf dem Deutschen basierende Kreolsprache Unserdeutsch.  

Das Wort „deutsch“

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Das Wort oder Glottonym (der Name einer Sprache[28]) deutsch hat sich aus dem germanischen *þeuðō ‚Volk‘, ahd. thiota, thiot und dem daraus abgeleiteten Adjektiv ahd. thiutisk (um 1000), mhd. diutisch, diutsch, tiutsch, tiusch entwickelt. Es bedeutet so viel wie ‚zum Volk gehörig‘ und entwickelte sich zu einer Bezeichnung für die Sprache der germanischen Stämme Mitteleuropas, die im Gegensatz zur Sprache der angrenzenden romanischen Bevölkerung und zum Latein stand.[29]

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Die Zusammenschreibung der Landesbezeichnung (zunächst im Sinne von „deutscher Sprachraum“) begegnet erstmals im spätmittelhochdeutschen Tiutschland und setzte sich seit dem 16. Jahrhundert allgemein durch.

( Quelle: Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Deutsche_Sp

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